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微分概念問題再探討
時間:2019-08-07 09:06:47來源:漢斯出版社
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提要:長期以來有關微積分理論問題的討論從未中斷過。

長期以來有關微積分理論問題的討論從未中斷過。圍繞微積分基礎理論問題,學術界展開了廣泛的討論。尤其是丁小平的《淺談現行微積分原理的錯誤》、《略論作為微積分原理的完善的實變函數》和《微分之講授》等系列文章發表以后,引起了很大的學術爭議,有學者發文為現行微積分體系辯護。

(圖片來源于網絡,侵刪)

漢斯出版社《理論數學》期刊中,有論文筆者認為提出一個充滿爭議的學術觀點是一件難得的事情,故該論文就專欄《這是不同的微分變量——兼評丁先生的錯誤論點》等相關文章的主要觀點展開深入的探討,并希望通過系統地分析各方學術觀點,進一步清楚闡釋微積分原理體系確實存在邏輯錯誤。

事實上,關于微分錯誤的討論一直存在。南京大學數學家莫紹揆曾發表《試論微分的本質》一文,該文深刻批判了現代體系中由于強行引入微分的概念,而使得必須有dx=?x的做法。并指出在多元微分學中可以取消微分的定義,但是考慮到微分在積分學、微分幾何等地方的應用,提出取消自變量微分的定義,而保留因變量微分的定義。除此之外,米哈列·列夫索次院士,林群院士,張景中院士都認為現代的微分引入極限以后顯得過于繁瑣,提出不需要極限概念直接、自然卻嚴格地建立微分和積分理論的新方法。最近林群院士和張景中院士在《高等數學研究》上發表文章,依據“平均速度一定夾在兩個瞬時速度之間”的思想,通過建立差商不等式,建立了不用極限的導數理論,從而建立了一個微積分體系。

微分概念是現行微積分體系的基礎,然而微分定義卻存在不可回避的邏輯矛盾。同時,現實世界和微積分方法中都需要解釋瞬時變化率,而不管極限論還是截止目前為止的微商定義都沒解決瞬時比的數學表達問題,因此,都是不合格的微積分原理。這種矛盾絕不像有些現行體系擁護者所解釋的是“同一符號表示的不同對象”,而是由于現有的數形模型存在的缺陷導致的。本文介紹了丁小平提出的過渡性質的新的微分定義,如果在柯西意義上說新微分定義不再存在邏輯矛盾,那么也就從反面說明柯西意義的微積分原理和試批者的反駁都是站不住腳的。在此基礎上,丁小平曾在新的數形模型的基礎上構建了完全滿足微積分方法要求的微積分原理。筆者有幸聆聽過的他的講座,這個新的微積分原理以立論的形式再次反襯了現行微積分原理的不足。

科學應該容許質疑和討論,經典教材的說法也并非邏輯完備無可指摘,只要這種質疑和討論秉持持之有故言之成理的準則。因為,“有條件的懷疑是科學精神”的基本內涵,接受他人的批判,批判他人的成果,是科研工作者的權利和義務。

文章來源:https://www.hanspub.org/journal/PaperInformation.aspx?paperID=31487

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微分 概念 問題 探討

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作者系郭珊珊

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